iPhoneアプリのデータは移行できない？

可能です。

設定画面の「データのバックアップ・復元」をタップして、「バックアップデータを出力する」を実行してください。

そして新機種へデータを送信し、その後、新端末でこのアプリをダウンロードして、設定画面の「データのバックアップ・復元」から「バックアップデータを復元する」を実行して、バックアップデータを選択してください。

これでバックアップデータが移行されます。